(12)已经知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形.

admin2018-08-01  46

问题 (12)已经知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形.

选项

答案(Ⅰ)因为r(ATA)=r(A),对A施以初等行变换 [*] 可见当a=-1时,r(A)=2,所以a=-1. (Ⅱ)由于a=-1,所以ATA=[*].矩阵ATA的特征多项式为 |λE-ATA| [*] =(λ-2)(λ2-6A)=λ(λ-2)(λ-6), 于是得ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 对于λ1=2,由求方程组(2E-ATA)x=0的一个非零解,可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1,-1,0)T; 对于λ2=6,由求方程组(6E-ATA)x=0的一个非零解,可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1,1,2)T; 对于λ3=0,由求方程组(ATA)x=0的一个非零解,可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1,1,-1)T. 令矩阵Q=[*] 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+6y22

解析
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