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  3. 设凡维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是

设凡维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是

admin2014-02-06  29
问题 设凡维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是
选项 A、α1，α2，…，αs中任何r一1个向量必线性无关．
B、α1，α2，…，αs中任何r个向量必线性无关．
C、如果s>n，则αs必可由α1，α2，…，αs-1线性表示．
D、如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2，…，αs线性表示．
答案D
解析 r(α1，α2……αs)=rα1，α2……αs中一定存在r个向量线性尢关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为，时，向量组中既可以有r一1个向量线性相关，也可以有。个向量线性相关，故A、B均错误．例如向量α1,α2,α3,α4分别为(1，0，0，0)，(0，l，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为3，其中α1,α4线性相关，α1,α2,α4也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．当s>n时，表明α1，α2……αs必线性相关，此时有αi可以由α1，…，αi-1，αi+1，…，αs线性表示，但αs不一定能由α1，…αs-1线性表示．故C不正确．若r(α1，α2……αs)=n，则对任何n维向量卢必有r(α1，α2……αs…，，β)=n．故D正确．因此应选D．
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考研数学一

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