2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总ヨy∈[a，b]，使得|f(y)|≤1／2|f(x)|．试证：ヨξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总ヨy∈[a，b]，使得|f(y)|≤1／2|f(x)|．试证：ヨξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．

admin2018-06-15  23
问题 设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总ヨy∈[a，b]，使得|f(y)|≤1／2|f(x)|．试证：ヨξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．
选项
答案反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则ヨx0∈[a，b]，f(x0)=[*]f(x)＞0．由题设，对此x0，ヨy∈[a，b]，使得 f(y)=|f(y)|≤1／2|f(0)|=1／2f(x0)＜f(x0)， 与f(x0)是最小值矛盾．因此，ヨξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．
解析
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考研数学一

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