2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内( )

admin2022-05-20  25
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，F(t)=t∫01［f(tx)-f(x)］dx，则F(t)在(0，1)内(          )
选项 A、单调减少
B、单调增加
C、有极大值
D、有极小值
答案C
解析 令tx=u，则当x=0时，u=0；当x=1时，u=t，dx=du/t，故
t∫01f(tx)dx=t∫0tf(u)·1/t·du=∫0tf(u)du，
从而
    F(t)=∫0tf(u)du-t∫01f(x)dx，
于是
    F’(t)=f(t)-∫01f(x)dx．
    由积分中值定理，可知存在一点ξ∈(0，1)，使得∫01f(x)dx=f(ξ)，故
    F’(t)=f(t)-f(ξ)．
又由闭区间上连续函数的零点定理，可知必有一点t0=ξ∈(0，1)，使得
    F’(t00)-f(ξ)=0．
    当t＞t0时，因为f(x)单调减少，所以f(t)＜f(t0)，从而F’(t)＜0．
    当t＜t0时，有F’(t)＞0．故t0为F(x)的极大值点．C正确．
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考研数学三

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