2. 考研
  3. (14)设A=，E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

(14)设A=，E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2019-08-01  38
问题 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；
(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换 [*] 设x=(x1，x2，x3，x4)T，选取x4为自由未知量，则得方程组的一般解：x1=-x4，x2=2x4，x3=3xx4(x4任意)． 令x4=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为 α=(-1，2，3，1)T (Ⅱ)对矩阵[A┆E]施以初等行变换 [*] 记E=[e1，e2，e3]，则 方程组Ax=e1的同解方程组为[*]，从而得Ax=e1的通解为x=k1α+[*]，k1为任意常数，同理得方程组Ay=e2的通解为y=k2α+[*]，k2为任意常数，方程组Ax=e3的通解为z=k3α+[*]，k3为任意常数，于是得所求矩阵为 B=[x，y，z]=[*]+[k1α，k2α，k3α] 或 [*] k1，k2，k3为任意常数．
解析
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考研数学二

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