2. 考研
  3. 某机构开发了一套选拔性测验，有100名考生参加了该测验，平均分为50，标准差为11。一年后又搜集了这批考生的工作能力分数作为效标分数，其平均数为500，标准差为110。考生的测验分数与工作能力分数的相关系数为0．80。选拔性测验的次数分布表如下：

某机构开发了一套选拔性测验，有100名考生参加了该测验，平均分为50，标准差为11。一年后又搜集了这批考生的工作能力分数作为效标分数，其平均数为500，标准差为110。考生的测验分数与工作能力分数的相关系数为0．80。选拔性测验的次数分布表如下：

admin2018-05-25  25
问题 某机构开发了一套选拔性测验，有100名考生参加了该测验，平均分为50，标准差为11。一年后又搜集了这批考生的工作能力分数作为效标分数，其平均数为500，标准差为110。考生的测验分数与工作能力分数的相关系数为0．80。选拔性测验的次数分布表如下：

    根据上述材料，回答下列问题(计算结果保留2位小数)：
    (1)检验这次选拔性测验的分数是否满足正态分布(χ(3)0.052=7．81，χ(4)0.052=9．49，χ(5)0.052=11．10；F(3，99)0.05=2．70，F(4,99)0.05=2．46，F(5,99)0.05=2．30)。
    (2)就本选拔性测验的目的而言，工作能力分数中无法解释的误差变异所占的比例是多少?
    (3)如果学生甲的选拔性测验分数为71．60，则该学生的百分等级是多少?
    (4)如果回归方程为=a+bX，其中a=100，请预测学生甲的工作能力分数。
选项
答案(1)①使用χ检验。 H0：该分布符合正态分布； H1：该分布不符合正态分布。 ②整理数据并计算χ2值。 整理数据如下表所示： [*] χ2=∑(foi-fei)2／fei=22／4+(一3)2／24+(一3)2／45+32／24+02／4=1．95。 ③自由度为df=5—1=4，比较计算得到的χ值与临界值的大小χ＜χ(4)0．05=9．49，不能拒绝H0。 ④结论：这次选拔性测验的分数满足正态分布。 (2)已知选拔性测验分数与效标分数的相关系数r=0．80，故rxy2=0．64。 无法解释的误差变异为1一rxy2=1—0．64=0．36，即工作能力分数中无法解释的误差变异占总变异的36％。 (3)计算学生甲的Z分数，Z=(Xi-[*])／Sx=(71．60—50)／11=1．96。 由于选拔性测验分数满足正态分布，所以比该学生成绩低的学生所占比例为97．50％，即该学生的百分等级为98。 (4)b=r×sy／sx=0．8×110／11=8， [*]=a+bX=100+8×0．71=672．80， 所以学生甲的工作能力分数是672．80。
解析 本题综合考查了考生对卡方检验、一元线性回归和分数转换等相关内容的理解和掌握。
    本题中的第(1)个问题“检验这次选拔性测验的分数是否满足正态分布”，要依据所给次数分布表中的数据来检验。表格中的第二列是选拔性测验各分数区间的实际观察次数，可用第三列的正态分布面积比例乘以考生人数100计算出服从正态分布的理论次数来。然后，利用卡方检验的χ2=∑(fo-fe)2／fe，计算出卡方值，检验实际观察次数与正态分布的理论次数之间是否有显著差异。
    第(2)个问题，等价于考查计算当用选拔性测验分数预测工作能力分数的一元线性回归时的确定系数。而选拔性测验分数和工作能力分数之间的相关系数的平方就是一元线性回归中的确定系数，可解释两变量共变的比例。本题中两变量的相关系数的平方反映了工作能力分数中由选拔性测验分数解释的变异，而用1减去该平方值，就得到了工作能力分数中无法用选拔性测验分数解释的误差变异所占的比例。
    第(3)个问题，当考虑计算学生甲在选拔性测验中的百分等级时，应首先想到在第一个问题中已经检验出该测验分数服从正态分布的结论。这样，可直接利用公式Z=(Xi-)／sx计算出学生甲的标准分数，然后将标准分数转换成对应的百分等级分数。此外，还可以直接利用分组数据计算百分等级的公式PR=(100／N)×[Fb+f(X-Lb)／i](Fb是小于Lb累计次数，f是某特定原始变量所在组的次数，Lb是某特定原始变量坐在组的下限，i是组距，N为次数分布的总次数)计算百分等级分数。
    第(4)个问题，为了计算回归方程的斜率b的值，需要利用相关系数与回归系数之间的关系b=r×sy／sx。此外，因为两测验分数的平均数均已给出，也可以直接利用一元线性回归方程的特例Yn=a+b求出回归系数b。
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