[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

admin2019-06-09 27

问题 [2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

选项

答案证一因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=0，故作辅助函数 F(x)=f′(x)+f(x)一x，因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1)， F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1) (因f′(x)为偶函数)．显然F(x)在[－1，1]上可导，满足罗尔定理的条件，由该定理知，存在η∈(一l，1)使 F′(η)=0，即[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=f″(η)+f′(η)一1=0．证二待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0，两边乘以e^η，则 e^η[f′(η)一1]′+e^η[f′(η)一1]={e^η[f′(η)一1]}′=0．于是令F(x)=e^x[f′(x)一1]．由(I)知存在ξ∈(0，1)使f′(ξ)=1，又因f′(x)为偶函数，故f′(一ξ)=f′(ξ)=1，则F(ξ)=e^ξ[f′(ξ)一1]=0， F(一ξ)=e^-ξ[f′(一ξ)一1]=e^-ξ[f′(ξ)一1]=0．在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，得到存在η∈(－ξ，ξ)[*](一1，1)使得F′(η)=0．由F′(x)=e^x[f′(x)一1]+e^xf″(x)得到F′(η)=e^η[f′(η)一1]+e^ηf″(η)=0，即f″(η)+ f′(η)=1．

解析

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考研数学二

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