(1)设f(x)是以T为周期的连续函数,试证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和,并求出此常数k; (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x一[x],求

admin2019-06-28  52

问题 (1)设f(x)是以T为周期的连续函数,试证明:∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和,并求出此常数k;
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数,g(x)=x一[x],求

选项

答案(1)证明能取到常数k使∫0xf(t)dt一kx为周期T即可.(1)得到的表达式去求[*] 即可得(2).但请读者注意,一般不能用洛必达法则求此极限,除非f(x)恒为常数.对于 (3),由于g(x)不连续,如果要借用(1)的结论,需要更深一层的结论(见下面的[注]).由于g(x)可以具体写出它的分段表达式,故可直接积分再用夹逼定理即得. (1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx,考察 ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx =∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT. 对于其中的第二个积分,作积分变量代换,命t=u+T,有 ∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du, ① 于是 ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT 可见,ψ(x)为T周期函数的充要条件是[*] 即证明了∫0xf(t)dt可以表示成 [*] 其中ψ(x)为某一周期T的函数. (2)由(1),[*] 因ψ(x)为连续的周期函数,故ψ(x)在(一∞,+∞)上有界,从而 [*] (3)设n≤x<n+1, [*] 由n≤x<n+1,有 [*] 由夹逼定理知 [*]

解析
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