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设A为n阶矩阵,下列命题正确的是 ( )
设A为n阶矩阵,下列命题正确的是 ( )
admin
2020-03-01
32
问题
设A为n阶矩阵,下列命题正确的是 ( )
选项
A、若α为A
T
的特征向量,那么α为A的特征向量
B、若α为A*的特征向量,那么α为A的特征向量
C、若α为A
2
的特征向量,那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量,那么α为A的特征向量
答案
D
解析
(1)矩阵A
T
与A的特征值相同,但特征向量不一定相同,故(A)错误.
(2)假设α为A的特征向量,λ为其特征值,当λ≠0时α也为A*的特征向量.这是由于 Aα=λα
A*Aα=λA*α
A*α=λ
-1
|A|α
但反之,α为A*的特征向量,那么α不一定为A的特征向量.例如:当r(A)<n一1时,A*=O,此时,任意n维非零列向量都是A*的特征向量,故A*的特征向量不一定是A的特征向量.可知(B)错误.
(3)假设α为A的特征向量,λ为其特征值,则α为A
2
的特征向量.这是由于 A
2
α=A(Aα)=λAα=λ
2
α.
但反之,若α为A
2
的特征向量,α不一定为A的特征向量.例如:假设Aβ
1
=β
1
,Aβ
2
=一β
2
,其中β
1
,β
2
≠0.此时有A
2
(β
1
+β
2
)=A
2
β
1
+A
2
β
2
=β
1
+β
2
,可知β
1
+β
2
为A
2
的特征向量.但β
1
,β
2
是矩阵A两个不同特征值的特征向量,它们的和β
1
+β
2
不是A的特征向量.故(C)错误.
(4)若α为2A的特征向量,则存在实数λ使得2Aα=λα,此时有
,因此α为A的特征向量.可知(D)是正确的.故选(D).
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考研数学二
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