设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．求曲线y=y(x)的表达式；

admin2021-01-14 19

问题设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e^-x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．
求曲线y=y(x)的表达式；

选项

答案微分方程的特征方程为2λ²+λ一1=0，特征值为λ₁=一1，λ₂=[*]，则微分方程2y"+y’一y=0的通解为y=C₁e^-x+C₂[*] 令非齐次线性微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e^-x的特解为y₀(x)=x(ax+b)e^-x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y₀(x)=x²e^-x，原方程的通解为 Y=C₁e^-x+C₂₁[*]+x²e^-x，由初始条件y(0)=y’(0)=0得C₁=C₂=0，故y=x²e^-x．

解析

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考研数学二

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