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若f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明: [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式);
若f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明: [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式);
admin
2022-06-04
27
问题
若f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:
[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx (Cauchy-Schwarz不等式);
选项
答案
作辅助函数 F(t)=∫
a
t
f
2
(x)dx∫
a
t
g
2
(x)dx-[∫
a
t
f(x)g(x)dx]
2
那么 F’(t)=f
2
(t)∫
a
t
g
2
(x)dx+g
2
(t)∫
a
t
f
2
(x)dx-2f(t)g(t)∫
a
t
f(x)g(x)dx =∫
a
t
[f(t)g(x)-f(x)g(t)]
2
dx≥0 即,当t≥a,F’(t)≥0,F(t)单调递增,所以F(B)≥F(A)=0,从而 [∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/LSfRFFFM
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考研数学三
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