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  3. 设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+fˊ(x)的零点．

设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+fˊ(x)的零点．

admin2016-09-13  38
问题 设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+fˊ(x)的零点．
选项
答案构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得Fˊ(ξ)=0，即fˊ(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[fˊ(ξ)+f(ξ)]=0． 由于eξ≠0，因此必有fˊ(ξ)+f(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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