A=，证明｜xE-A｜的4个根之和等于a11+a22+a43+a44．

admin2018-06-27 8

问题 A=

，证明｜xE-A｜的4个根之和等于a₁₁+a₂₂+a₄₃+a₄₄．

选项

答案设4个根为x₁，x₂，x₃，x₄．因为｜xE-A｜是x的4次多项式，并且x₄的系数为1，所以｜xE-A｜=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄)．考察x³的系数．从右侧看为-(x₁+x₂+x₃+x₄)；再从左侧看，因为｜xE-A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x-a₁₁)(x-a₂₂)(x-a₃₃)(x-a₄₄)这一项包含x³的，并且系数为-(a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄).于是x₁+x₂+x₃+x₄=a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄.

解析

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考研数学二

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