2. 考研
  3. (Ⅰ)求累次积分 (Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，记I=∫01f(x)dx， 求证：I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx， (Ⅲ)求出I的值．

(Ⅰ)求累次积分 (Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，记I=∫01f(x)dx， 求证：I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx， (Ⅲ)求出I的值．

admin2017-11-23  41
问题 (Ⅰ)求累次积分
(Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，记I=∫01f(x)dx，
求证：I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx，
(Ⅲ)求出I的值．
选项
答案(Ⅰ) 将J表示成 [*] 其中D：0≤y≤1，[*]， 如图所示， [*] 现改换成先y后x的积分顺序得 [*] (Ⅱ)因为f(x)=1+[*]∫x1f(y)f(y一x)dy，所以在[0，1]上积分上式可得 I=∫01f(x)dx=1+[*]∫01dx∫x1f(y)f(y一x)dy． 将累次积分表示成二重积分后交换积分顺序，可得 [*] (其中D0如图) [*] (Ⅲ)为求I值，再对内层积分作变量替换并凑微分可得 [*]
解析
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