设函数f(x)的定义域是R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. 判断f(x)在R上的单调性;

admin2019-06-01  31

问题 设函数f(x)的定义域是R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
判断f(x)在R上的单调性;

选项

答案设任意x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则 ∵x1<x2,∴x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1. 由x>0时,0<f(x)<1;x<0时,f(x)>1;f(0)=1, ∴对x∈R,有f(x)>0, ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, 即f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上单调递减.

解析
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