证明：当x≠0时，ex+e-xx2+2

admin2021-12-23 27

问题证明：当x≠0时，e^x+e^-xx²+2

选项

答案证明：要证当x≠0时，e^x+e^-x＞x²+2 只要证当x＞0时，e^x+e^-x＞x²+2且当x＜0时，e^x+e^-x＞x²+2 令f(x)=e^x+e^-x-x²-2 ∴f′(x)=e^x-e^-x-2x ∴f″(x)=e^x+e^-x-2 ∴f″(x)=e^x-e^-x 令f″(x)=0，则 ∴x∈(-∞，0)时，e^x∈(0，1)，e^x＜e^-x，f″(x)＜0 x∈(0，+∞)时，e^x∈(1，+∞)，e^x＞e^-x，f″(x)＞0 ∴x∈(-∞，0)，f″(x)单调递减，x ∈(0，+∞)，f″(x)单调递增 ∴f″(x)≥f″(0)=0 ∴f′(x)在R上单调递增令f′(x)=0，则x=0 ∴z∈(-∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，f(x)＞f(0)=0 x∈(0，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)＞f(0)=0 ∴当x＞0时，e^x+e^-x＞x²+2且当x＜0时，e^x+e^-x＞x²+2 ∴当x≠0时，e^x+e^-x＞x²+2

解析利用单调性证明不等式

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