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设f(x)是[0，1]上的可导函数，且f′(x)有界。证明：存在M＞0，使得对于任意x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)－f(x2)｜≤M｜x1－x2｜。
设f(x)是[0，1]上的可导函数，且f′(x)有界。证明：存在M＞0，使得对于任意x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)－f(x2)｜≤M｜x1－x2｜。
admin
2019-07-10
2
问题
设f(x)是[0，1]上的可导函数，且f′(x)有界。证明：存在M＞0，使得对于任意x
1
，x
2
∈[0，1]，有｜f(x
1
)－f(x
2
)｜≤M｜x
1
－x
2
｜。
选项
答案
本题考查微分中值定理。 当x
1
=x
2
时结论显然成立。不妨设x
1
＜x
2
，则函数f(x)在区间[x
1
，x
2
]上连续，在区间(x
1
，x
2
)上可导，由拉格朗日中值定理可得，存在一点ξ∈(x
1
，x
2
)，使得f(x
1
)－f(x
2
)=f′(ξ)(x
1
－x
2
)。即有｜f(x
1
)－f(x
2
)｜=｜f′(ξ)｜｜x
1
－x
2
｜。 因为f′(x)有界，故存在M＞0，对任意x∈[0，1]都有｜f′(x)｜≤M，所以｜f′(ξ)｜≤M。 故｜f(x
1
)－f(x
2
)｜≤M｜x
1
－x
2
｜。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
数学学科知识与教学能力
教师资格
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