设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f(x)≥0,g’(x)≥0。证明对任何a∈[0,1],有g(x)f’(x)dx+f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

admin2017-01-21  36

问题 设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f(x)≥0,g’(x)≥0。证明对任何a∈[0,1],有g(x)f’(x)dx+f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

选项

答案0ag(x)f’(x)dx=g(x)f(x)|0a一∫0af(x)g’(x)dx =f(0)g(a)一∫0af(x)g’(x)dx, ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx =f(A)g(a)一∫0af(x)g’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx =f(A)g(A)+∫01f(x)g’(x)dx, 由于x∈[0,1]时,g’(x)≥0,因此 f(x)g’(x)≥f(A)g’(x),x∈[a,1], ∫a1f(x)g’(x)dx≥∫a1f(a)g’(x)dx=f(a)[g(1)—g(a)], 从而 g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(A)+f(a)[g(1)—g(A)]=f(a)g(1)。

解析
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