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  3. 设三阶矩阵A的特征值是0，1，－1，则下列命题中不正确的是( )

设三阶矩阵A的特征值是0，1，－1，则下列命题中不正确的是( )

admin2019-02-18  25
问题 设三阶矩阵A的特征值是0，1，－1，则下列命题中不正确的是(    )
选项 A、矩阵A－E是不可逆矩阵．
B、矩阵A＋E和对角矩阵相似．
C、矩阵A属于1与－1的特征向量相互正交．
D、方程组Aχ＝0的基础解系由一个向量构成．
答案C
解析 因为矩阵A的特征值是0，1，－1，所以矩阵A－E的特征值是－1，0，－2．由于λ＝0是矩阵A－E的特征值，所以A－E不可逆．故命题A正确．
    因为矩阵A＋E的特征值是1，2，0，矩阵A＋E有三个不同的特征值，所以A＋E可以相似对角化．命题B正确(或由A～A＋E～A＋E而知A＋E可相似对角化)．
    因为矩阵A有三个不同的特征值，知
    A～A＝
    因此，r(A)＝r(∧)＝2，所以齐次方程组Aχ＝0的基础解系由n－r(A)＝3－2＝1个解
向量构成，即命题D正确．
    命题C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交．
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考研数学一

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