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设三阶矩阵A的特征值是0,1,-1,则下列命题中不正确的是( )
设三阶矩阵A的特征值是0,1,-1,则下列命题中不正确的是( )
admin
2019-02-18
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问题
设三阶矩阵A的特征值是0,1,-1,则下列命题中不正确的是( )
选项
A、矩阵A-E是不可逆矩阵.
B、矩阵A+E和对角矩阵相似.
C、矩阵A属于1与-1的特征向量相互正交.
D、方程组Aχ=0的基础解系由一个向量构成.
答案
C
解析
因为矩阵A的特征值是0,1,-1,所以矩阵A-E的特征值是-1,0,-2.由于λ=0是矩阵A-E的特征值,所以A-E不可逆.故命题A正确.
因为矩阵A+E的特征值是1,2,0,矩阵A+E有三个不同的特征值,所以A+E可以相似对角化.命题B正确(或由A~A
+E~A+E而知A+E可相似对角化).
因为矩阵A有三个不同的特征值,知
A~A=
因此,r(A)=r(∧)=2,所以齐次方程组Aχ=0的基础解系由n-r(A)=3-2=1个解
向量构成,即命题D正确.
命题C的错误在于,若A是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交,而一般n阶矩阵,不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
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考研数学一
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