(2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f’(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.

admin2021-01-19  57

问题 (2002年试题,十)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0f(0)≠0,fn(0)≠0.证明:存在唯一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0加时,λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)是比h2高阶的无穷小.

选项

答案首先明确高阶无穷小的定义,即若f(x)是x2的高阶无穷小,则当且仅当[*][*]由题设,欲证结论等价于证明存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得[*] (1)式成立的必要条件是[*]λ2f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)=0,即λ1f(0)+λ2f(0)+λ3f(0)一f(0)=0,由已知f(0)≠0,因此λ123-1=0(2)又由已知f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,从而可利用洛必达法则,由(1)式,[*] (3)同样此式成立的必要条件是[*]λf(h)+2λ2f(2h)+3λf(3h)=0,即λ1f(0)+2λ2f(0)+3λ3f(0)=0由已知f(0)≠0,所以λ1+2λ2+3λ3=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则,有[*]同理,由f(0)=0,知λ1+4λ2+9λ3=0(5)综合(2),(4),(5)三式得一关于λ1,λ2,λ3的线性非齐次方程组[*]该方程组系数行列式为[*]所以方程组有唯一解,所以存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3满足题设要求.

解析 本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于λ1,λ2,λ3的方程组,即由在上式中分别取x=h,2h,3h,则因此λ1f(0)+λ2f(2h)+λ3f(3h)-f(0)=(λ123-1)f(0)+(λ1+2λ2+3λ3)f(0)h+1+4λ2+9λ3)f(0)h2+o(h2)由题设f(0)≠0,f(0)≠0,fn(0)≠0,则要使上式左边当h→0时为h2的高阶无穷小,必应满足由此同样得到关于λ1,λ2,λ3的方程组。
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