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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)=0．

admin2017-05-31  24
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可微，且试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 f’(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理，存在点c∈[*]使得 [*]又f(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且f(0)=f(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得f’(ξ)=0．
解析 待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明．证明的关键是在[0，1]内构造辅助区间[0，c]，使得f(0)=f(c)．点c可由已知条件和积分中值定理得到．
本题中的条件可换为一般形式：只需f(x)为连续函数，便可由积分中值定理找到使f(a)=f(c)的辅助区间[a，c][a，b]．
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考研数学一

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