设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关. 证明:存在非零3维向量ξ1,ξ2既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出;

admin2014-04-16  33

问题 设3维向量组α1,α2线性无关,β1,β2线性无关.
证明:存在非零3维向量ξ1,ξ2既可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出;

选项

答案α12,β1,β2均是3维向量,4个3维向量必线性相关,由定义,存在不全为零的数k1,k2,λ1,λ2.使得k1α1+k2α21β12β2=0,得k1α1+k2α2+k1β1-λ2β2.取ξ=k1α1+k2α2=一λ1β1—λ2β2,若ξ=0.则k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2=0.因α1,α2线性无关,β1,β2也线性无关,从而得出λ12=0,且λ12=0。这和4个3维向量线性相关矛盾,故ξ≠0,ξ即为所求的既可由α12线性表出,也可由β1,β2线性表出的非零向量

解析
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