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  3. 求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β

求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β

admin2016-09-13  23
问题 求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β
选项
答案已知不等式等价于(n+α)ln(1+[*])≤1≤(n+β)ln(1+[*])．即 α≤[*]－n≤β 令f(x)=[*]，x∈(0，1]，则 [*] 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)－x2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且 gˊ(x)=ln2(1+x)+21n(1+x)－2x，gˊ(0)=0， [*] 故gˊ(x)在[0，1]上严格单调递减，所以gˊ(x)＜gˊ(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)－x2＜0，从而fˊ(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减． 令x=[*]，则α≤f(x)≤β，有 [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为[*]－1，最小的数β为[*]
解析
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考研数学三

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