2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫ab f(x)dx＜2 ∫ab xf(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫ab f(x)dx＜2 ∫ab xf(x)dx．

admin2015-07-22  28
问题 设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫ab f(x)dx＜2 ∫ab xf(x)dx．
选项
答案令F(t)=(a+t)∫at f(x)dx一2 ∫atf(x)dx，则 F’(t)一∫atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t) =∫atf(x)dx一(t一a)f(t)=∫at f(x)dx—∫at f(t)dx =∫atf(x)一f(t)]dx． 因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格单调增加，所以f(x)一f(t)≤0，于是有 F’(t)=∫at [f(x)一f(t)]dx≤0，即F(t)单调递减，又F(a)=0，所以F(b)＜0，即 (a+b)∫ab f(x)dx-2∫abxf(x)dx＜0， 即(a+b)∫ab f(x)dx＜2∫abxf(x)dx．
解析
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考研数学三

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