设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)=2．证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；

admin2019-01-23 14

问题设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f^’(0)=2．
证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F^’(θx)x，即∫₀^xf(t)dt+∫₀^－xf(t)dt=xf[(θx)一f(－θx)]．

解析

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考研数学一

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设f(x)＝(I)求f’(x)；(Ⅱ)证明：x＝0是f(x)的极大值点；(Ⅲ)令xn＝，考察f’(xn)是正的还是负的，n为非零整数；(Ⅳ)证明：对δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．
设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)=a(a≠0)，试证明对任意x，f’(x)都存在，并求f(x)。
计算下列不定积分：(Ⅰ)dx；(Ⅱ)dx；(Ⅲ)(a≠b)；(Ⅳ)dx(a2+b2≠0)；(Ⅴ)dx；(Ⅵ)dx．
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计算的上侧。为大于零的常数．
设a1=1，当n≥1时，an＋1=，证明：数列｛an｝收敛并求其极限．
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