设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

admin2016-03-16 37

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．
(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；
(Ⅱ)设

，求出可由两组向量同时表示的向量．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，l₁，l₂，使k₁α₁＋k₂α₂＋l₁β₁＋l₂β₂＝，即 k₁α₁＋k₂α₂＝－l₁β₁－l₂β₂ (Ⅱ)令r＝k₁α₁＋k₂α₂＝－l₁β₁－l₂β₂， A＝(α₁，α₂，β₁，β₂)＝[*] 则[*] 所以r＝kα₁－3kα₂＝－kβ₁＋0β₂．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关． (Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示； (Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．

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