设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2017-06-26  31

问题 设有齐次线性方程组
    试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换: [*] (1)当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为χ1+χ2+…+χn=0,由此得基础解系为ξ1=(-1,1,0,…,0)T,ξ2=(-1,0,1,…,0)T,…,ξn-1=(-1,0,0,…,1)T,于是方程组的通解为 χ=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1,其中k1,…,kn-1为任意常数. (2)当a≠0时,对矩阵B作初等行变换: [*] 可知a=[*]时.r(A)=n-1<n,故此时方程组也有非零解,方程组的用自由未知量表示的通解为 χ2=2χ1,χ3=3χ1,…,χn=nχ11任意), 由此得基础解系为ξ=(1,2,3,…,n)T,于是方程组用基础解系表示的通解为 χ=kξ,其中k为任意常数.

解析
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