n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )

admin2016-03-05  28

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的(    )

选项 A、充分必要条件.
B、充分而非必要条件.
C、必要而非充分条件.
D、既非充分又非必要条件.

答案D

解析 根据相似矩阵的定义,由A~B可知,存在可逆矩阵P使P一1AP=B:若Aα=λα,α≠0,有B(P一1α)=(P一1AP)(P一1α)=P一1Aα=λ(P一1α),即α是A的特征向量,P一1α是B的特征向量,即矩阵A与B的特征向量不同.相反地,若矩阵A与B有相同的特征向量,且它们属于不同的特征值,即Aα=λα,Bα=μα,λ≠μ,因为矩阵A与B的特征值不同,所以矩阵A和B不可能相似.所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A~B来说是既非充分又非必要,故选D.
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