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设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
admin
2016-01-25
40
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α,证明:
(Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A
4
α]可逆;
(Ⅱ)B
T
B为正定矩阵.
选项
答案
(1)证一 由A
3
α=3Aα一2A
2
α得到 A
4
α=A.A
3
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=一6Aα+7A
2
α, 则 [α,Aα,A
4
α]=[α,Aα,A
2
α][*]=[α,Aα,A
2
α]G. 因|G|=[*]=7≠0,α,Aα,A
2
α线性无关,故α,Aα,A
4
α线性无关,所以矩阵B可逆. 证二 设k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0,即 k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0, 亦即 k
1
α+(k
2
-6k
2
)Aα+7k
3
A
2
α=0. 因α,Aα,A
4
α线性无关,故 k
1
=0, k
2
=6k
3
=0, 7k
3
=0, 即 k
1
=k
2
=k
3
=0, 所以α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆. (2)因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B为实对称矩阵. 又对任意x≠0,因B可逆,有BX≠0,于是有 X
T
(B
T
B)X=(BX)
T
(BX)>0, 故二次型X
T
B
T
BX是正定二次型,从而B
T
B为正定矩阵.
解析
(1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之.为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积,也可利用向量组α,Aα,A
2
α线性无关的性质用定义证明.
(2)用定义证明X
T
B
T
BX为正定二次型.
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考研数学三
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