设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.

admin2016-01-25  40

问题 设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明:
(Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆;
(Ⅱ)BTB为正定矩阵.

选项

答案(1)证一 由A3α=3Aα一2A2α得到 A4α=A.A3α=3A2α一2A3α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=一6Aα+7A2α, 则 [α,Aα,A4α]=[α,Aα,A2α][*]=[α,Aα,A2α]G. 因|G|=[*]=7≠0,α,Aα,A2α线性无关,故α,Aα,A4α线性无关,所以矩阵B可逆. 证二 设k1α+k2Aα+k3A4α=0,即 k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0, 亦即 k1α+(k2-6k2)Aα+7k3A2α=0. 因α,Aα,A4α线性无关,故 k1=0, k2=6k3=0, 7k3=0, 即 k1=k2=k3=0, 所以α,Aα,A4α线性无关,因而矩阵B可逆. (2)因(BTB)T=BT(BT)T=BTB,故BTB为实对称矩阵. 又对任意x≠0,因B可逆,有BX≠0,于是有 XT(BTB)X=(BX)T(BX)>0, 故二次型XTBTBX是正定二次型,从而BTB为正定矩阵.

解析 (1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之.为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积,也可利用向量组α,Aα,A2α线性无关的性质用定义证明.
(2)用定义证明XTBTBX为正定二次型.
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