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设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫ab|x一t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
admin
2019-07-12
26
问题
设φ(x)在[a,b]上连续,且φ(x)>0,则函数y=∫
a
b
|x一t|φ(t)dt的图形在(a,b)内( )
选项
A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点
答案
B
解析
令y=ψ(x),先将ψ(x)利用|x—t|的分段性分解变形,有
ψ(x)=∫
a
x
(x—t)φ(t)dt+∫
x
b
(t一x)φ(t)dt=x∫
a
x
φ(t)dt—∫
a
x
tφ(t)dt+∫
x
b
tφ(t)dt—x∫
x
b
φ(t)dt.
因为φ(t)在[a,b]上连续,所以ψ(x)可导,因而答案不可能是(D).要讨论其余三个选项,只需求出ψ"(x),讨论ψ"(x)在(a,b)内的符号即可.因
ψ’(x)=∫
a
x
φ(t)dt—∫
x
b
φ(t)dt,ψ"(x)=2φ(x)>0,x∈[a,b],故y=ψ(x)在(a,b)内的图形为凹.应选(B).
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考研数学三
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