设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 求:(I)系数A; (Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数; (Ⅲ)边缘概率密度; (Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x+3y<6内的概率.

admin2016-01-12  96

问题 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求:(I)系数A;
(Ⅱ)(X,Y)的联合分布函数;
(Ⅲ)边缘概率密度;
(Ⅳ)(X,Y)落在区域R:x>0,y>0,2x+3y<6内的概率.

选项

答案(I)根据分布函数的性质 ∫-∞+∞-∞+∞f(x,y)dxdy=∫0+∞0+∞Ae-(2x+3y)dxdy=[*],解得A=6. (Ⅱ)将A=6代入得(X,Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x>0,y>0时, F(x,y)=∫0y0x6e-(2x+3y)dxdy=6∫0xe-2xdx∫0ye-3ydy=(1一e-2x)(1一e-3y), 而当x和y取其它值时,F(x,y)=0. 综上所述,可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x>0时,X的边缘密度为 fX(x)=∫X6e-(2x+3y)dy=2e-2x, 当x≤0时,fX(x)=0.因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] (IV)根据公式 [*] 已知R:x>0,y>0,2x+3y<6,将其转化为二次积分,可表示为 [*]

解析
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