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  3. 确定常数a和b，使得函数f(x)=处处可导．

确定常数a和b，使得函数f(x)=处处可导．

admin2016-10-26  31
问题 确定常数a和b，使得函数f(x)=处处可导．
选项
答案由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于是，f(x)在x=0连续[*](sinx+2aex)=2a=f(0)[*]2a=－2b，即a+b=0． 又f(x)在x=0可导[*]f′+(0)=f′－(0)．在a+b=0条件下，f(x)可改写成 f(x)=[*] 于是 f′+(0)=[9arctanx+2b(x－1)3]′｜x=0=[[*]+6b(x－1)2]｜x=0=9+6b， f′－(0)=(sinx+2aex)′｜x=0=1+2a． 因此f(x)在x=0可导[*] 故仅当a=1，b=－1时f(x)处处可导．
解析 这是分段函数，当x＞0与x＜0时分别与某初等函数相等，是可导的，关键是确定a和b，使得f(x)在x=0处可导．对这类问题是根据：
①函数在某点可导则在该点连续；
②函数在某些点处可导，则在该点处左、右导数相等这两个性质，建立两个待定常数间的两个关系式，然后解出来．
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