(99年)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数．且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=3．

admin2018-07-27 60

问题 (99年)设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数．且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=3．

选项

答案由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*] 其中η介于0与x之间，x∈[一1，1] 分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得 [*] 两式相减可得 f"’(η₁)+f"’(η₂)=6 由f"’(x)的连续性，f"’(x)在闭区间[η₁,η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有 [*] 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](-1，1) 使[*]

解析

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考研数学二

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