设有三元方程xy-zlny+z2=1,根据隐函数存在定理,存在点(1,1,0)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).

admin2022-06-15  30

问题 设有三元方程xy-zlny+z2=1,根据隐函数存在定理,存在点(1,1,0)的一个邻域,在此邻域内该方程(    ).

选项 A、只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x,y)
B、可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
C、可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
D、可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

答案D

解析 注意隐函数存在定理:设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,F’z(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x,y),它满足条件z0=z(x0,y0),且有

在本题中令
F(x,y,z)=xy-zlny+z2-1,

F(1,1,0)=0,

F’x=y,F’y=x-,F’z=-lny+2z,
F’x(1,1,0)=1,F’y(1,1,0)=1,F’z(1,1,0)=0.
由隐函数存在定理可知,可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y,z)和y=y(x,z).
故选D.
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