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设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．
设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．
admin
2015-07-10
25
问题
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，…，α
n
是n维列向量，且α
n
≠0，若
Aα
1
=α
2
，Aα
2
=α
3
，…，Aα
n-1
=α
n
，Aα
n
=0．
(1)证明：α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．
选项
答案
(1)令x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=0，则x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=0→x
1
α
2
+x
2
α
3
+…+x
n-1
α
n
=0 x
1
α
2
+x
2
α
3
+…+x
n-1
α
n
=0→x
1
α
3
+x
2
α
4
+…+x
n-2
α
n-2
=0 … x
1
α
n
=0 因为α
n
≠0，所以x
1
=0，反推可得x
2
=…=x
n
=0，所以α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关． (2)A(α
1
，α
2
，…，α
n
)=(α
1
，α
2
，…，α
n
)[*]，令P=(α
1
，α
2
，…，α
n
)，则P
-1
AP=[*]=B，则A与B相似，由｜λE一B｜=0→λ
1
=…=λ
n
=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aα
n
=0α
n
(α
n
≠0)，所以A的全部特征向量为kα
n
(k≠0)．
解析
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考研数学三
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