2. 考研
  3. 以下4个命题： ①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞+∞f(x)dx必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且∫－RRf(x)dx存在，∫－∞+∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=∫－RRf

以下4个命题： ①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞+∞f(x)dx必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且∫－RRf(x)dx存在，∫－∞+∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=∫－RRf

admin2019-05-15  55
问题 以下4个命题：
①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞+∞f(x)dx必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且∫－RRf(x)dx存在，∫－∞+∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=∫－RRf(x)dx；
③若∫－∞+∞f(x)dx与∫－∞+∞g(x)dx都发散，则∫－∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；
④若∫－∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫－∞+∞f(x)dx未必发散．
正确的个数为    (    )
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案A
解析 ∫－∞+∞f(x)dx收敛则对任意常数a，使∫－∞af(x)dx和∫a∞+∞f(x)dx都收敛，此时
∫－∞+∞f(x)dx=∫－∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．
设f(x)=x，则f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，且∫－RRf(x)dx=0．
但是
∫－∞0f(x)dx=∫－∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，故∫－∞+∞f(x)如发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
    设f(x)=x，g(x)=－x，由上面讨论可知∫－∞+∞f(x)dx与∫－∞+∞g(x)dx都发散，但∫－∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选A．
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考研数学一

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