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  3. 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2018-05-25  31
问题 试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
选项
答案由已知得y’=[*]，故有 y’(1+x2)=1。 上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x2)(n)=0，因此由莱布尼茨公式 C0(y’)(n)(1+x2)+C1(y’)(n—1)(1+x2)’+C2(y’)(n—2)(1+x2)"=0， 即 (1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+(n一1)ny(n—1)=0。 令x=0，得 y(n+1)(0)+(n一1)ny(n—1)(0)=0， 根据该递推关系，则 y(n)(0)=(1一n)(n一2)y(n—2)(0)，n≥2。 由y(0)=0，y’(0)=1及上述递推公式，得 y(2k)(0)=0，k=1，2，…； y(2k+1)(0)=(一1)k(2k)!，k=0，1，2，…。
解析
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