[2008年] 已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛,在x=一4处发散,则幂级数an(x一3)n的收敛域为______.[img][/img]

admin2019-04-08  15

问题 [2008年]  已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛,在x=一4处发散,则幂级数an(x一3)n的收敛域为______.[img][/img]

选项

答案(1,5]

解析 由题设及阿贝尔定理知,当|x+2|<|0+2|=2即一4<x<0时,幂级数an(x+2)n收敛.而当|x+2|>|一4+2|=2即x<一4或x>0时,该幂级数发散.因而其收敛区间为-4<x<0.于是其收敛半径为R=[0-(-4)]/2=2.又an(x+2)nanxn有相同的收敛半径,而anxn当然也与an(x-3)n有相同的收敛半径.故an(x+2)nan(x-3)n有相同的收敛半径,后者的收敛区间为一2<x一3<2,即1<x<5.
又当x=0时,x+2=2.令x一3=2,得x=5;当x=一4时,x+2=一2.令x一3=一2,得x=1.
于是幂级数an(x+2)n在x=0处收敛,相当于幂级数an(x-2)n在x=5处收敛;而幂级数an(x+2)n在x=一4处发散,相当于幂级数an(x-2)n在x=1处发散.故an(x-3)n的收敛域为(1,5].[img][/img]
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