2. 考研
  3. 解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

admin2021-11-09  37
问题 解下列微分方程：
    (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解；
    (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
    (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．
选项
答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ2－7λ＋12＝0，它有两个互异的实根：λ1＝3，λ2＝4，所以，其通解为[*] 由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y*(χ)＝Aχ＋B．代入方程，可得A＝[*]，B＝[*]，所以，原方程的通解为y(χ)＝[*] 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为y(χ)＝[*] (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为[*](χ)＝C1cosaχ＋C2sinaχ．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbχ＋Bsinbχ，将其代入原方程，则得 A＝[*]，B＝0． 所以，通解为y(χ)＝[*]cosbχ＋C1cosaχ＋C2sinaχ，其中C1，C2为任意常数． ②当a＝b时，特解的形式应为Aχcosaχ＋Bχsinaχ，代入原方程，则得 A＝0．B＝[*]． 原方程的通解为y(χ)＝[*]χsinaχ＋C1cosaχ＋C2sinaχ，其中C1，C2为任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ3＋λ2＋λ＋1＝0，分解得(λ＋1)(λ2＋1)＝0，其特征根为λ1＝－1，λ2，3＝±i，所以方程的通解为 y(χ)＝C1e－χ＋C2cosχ＋C3sinχ，其中C1，C2，C3为任意常数．
解析
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考研数学二

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