2. 考研
  3. 设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，X=min{X1，X2}，Y的分布律为P{Y=-1}=1／3，P{Y=1}=2／3，且X与Y相互独立．记T=max{X，X3}． 求Z=XY的概率密度fZ(z)；

设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，X=min{X1，X2}，Y的分布律为P{Y=-1}=1／3，P{Y=1}=2／3，且X与Y相互独立．记T=max{X，X3}． 求Z=XY的概率密度fZ(z)；

admin2023-01-04  11
问题 设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，X=min{X1，X2}，Y的分布律为P{Y=-1}=1／3，P{Y=1}=2／3，且X与Y相互独立．记T=max{X，X3}．
求Z=XY的概率密度fZ(z)；
选项
答案先求X的概率密度． 记X的分布函数为FX(x)，则当x≤0时，FX(x)=0；当x＞0时，有 FX(x)=P{min{X1，X2}≤x}=1-P{X1＞x，X2＞x} =1-P{X1＞x}·P{X2＞x}=1-e-λx·e-λx=1-e-2λx， 故X的概率密度为 [*] Z的分布函数为 Fz(z)=P{XY≤z}=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1} =P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1} =P{X≥-z}·P{Y=-1}+P{X≤z}·P{Y=1} =[*][1-FX(-z)]+[*]FX(z)， 故fZ(z)=F’Z(z)=[*]fX(-z)+[*]fX(z) 当z＜0，即-z＞0时，有fX(-z)=2λe2λz，fX(z)=0． 当z＞0，即-z＜0时，有fX(z)=2λe-2λz，fX(-z)=0． 当z＝0时，fZ(z)=0．所以 fZ(z)=[*]
解析
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考研数学一

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