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  3. 设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求： (Ⅰ)du； (Ⅱ)

设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求： (Ⅰ)du； (Ⅱ)

admin2015-05-07  49
问题 设u=f(xy，x2－y2，x)，其中函数f有二阶连续偏导数，试求：
    (Ⅰ)du；
    (Ⅱ)
选项
答案(Ⅰ) 利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得 du=f’1．d(xy)+f’2．d(x2－y2)+f’3．dx =f’1．(ydx+xdy)+2f’2．(xdx－ydy)+f’3．dx =(yf’1+2xf’2+f’3)dx+(xf’1－2yf’2)dy． (Ⅱ) 由du表达式中dx的系数可得 u’x=yf’1+2xf’2+f’3． 上式再对y求偏导数，即得 u"xy=y(f’1)’y+2x(f’2)’y+(f’3)’y+f’1． 由于 f’1=f’1(xy，x2－y2，x)， f’2=f’2(xy，x2－y2，x)，f’3=f’3(xy，x2－y2，x)， 它们仍是复合函数，求它们关于y的偏导数与求f(xy，x2－y2，x)关于y的偏导数的方法是相同 的，同样由复合函数求导法有 (f’1)’y=xf"11－2yf"12， (f’2)’y=xf"21－2yf"22， (f’3)’y=xf"31－2yf"32． 代入u"xy的表达式，并利用f"12=f"21(因为它们连续)，得 u"xy=y(xf"11－2yf"12)+2yf"21－2yf"22)+xf"31－2yf"32+f’1 =xyf"11+2(x2－y2)f"12－4xyf"22+xf"31－2yf"32+f’1．
解析
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考研数学一

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