2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(a+b/2)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(a+b/2)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

admin2021-10-18  30
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(a+b/2)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f(a+b/2)＜0，令φ(x)=e-xf(x)，则φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]．因为φ(a)＞0，φ(a+b/2)＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ1∈(a，a+b/2)，ξ2∈(a+b/2，b)．使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因为e-ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．
解析
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考研数学二

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