2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为________．

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为________．

admin2019-03-12  41
问题 设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程
yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x)                  ①
的3个解，且
≠常数，
则式①的通解为________．
选项
答案y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)+y1，其中C1，C2为任意常数
解析 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
y1－y2与y2－y3均是式①对应的线性齐次方程
yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=0    ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使
k1(y1－y2)+k2(y2－y3)=0．    ③
设k1≠0，又由题设知y2－y3≠0，于是式③可改写为

矛盾．若k1=0，由y2－y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1－y2与y2－y3线性无关．
于是
y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)    ④
为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知
y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)+y1   ⑤
为式①的通解．
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考研数学三

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