2. 考研
  3. 函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e一x≤f(x)≤1．

函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e一x≤f(x)≤1．

admin2017-04-24  59
问题 函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0
(1)求导数f’(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式：e一x≤f(x)≤1．
选项
答案(1)由题设知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0 上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=一(x+2)f’(x) 设u=f’(x)，则有[*] 解得 f’(x)=u=[*] 由f(0)=1，及f’(0)+f(0)=0，知f’(0)=一1，从而C=一1． 因此 [*] (2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1 设 φ(x)=f(x)一 e一x 则 φ(0)=0，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而 φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e一x 综上所述，当x≥0时，成立不等式e一x≤f (x)≤1.
解析
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考研数学二

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