设A为n阶方阵，证明：R(An)=R(An+1)。

admin2019-03-23 40

问题设A为n阶方阵，证明：R(Aⁿ)=R(Aⁿ⁺¹)。

选项

答案本题可转化为方程组Aⁿx=0与Aⁿ⁺¹x=0同解的证明。若Aⁿx=0，则Aⁿ⁺¹x=0，因此Aⁿx=0的解必为Aⁿ⁺¹x=0的解。反之，当Aⁿ⁺¹x=0时，如果Aⁿx≠0，设k₀，k₁，…，k_n使k₀x+k₁Ax+…+k_nAⁿx=0，依次用Aⁿ，A^n—1，…，A乘该式，即得k₀=k₁=…=k_n=0，故这n+1个向量线性无关，这显然与n+1个n维向量必线性相关矛盾，所以Aⁿx=0，于是可知Aⁿx=0与Aⁿ⁺¹x=0同解，故R(Aⁿ)=R(Aⁿ⁺¹)。

解析

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