设函数f(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．

admin2019-05-14 34

问题设函数f(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且

｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程

的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．

选项

答案考查初值问题[*]y(0)=y₀．对于固定的y₀，由方程可得相应的特解．对于任意的y₀，可得方程的一切解 [*] 由于[*]故由函数极限的保号性：存在M＞0，使得x＞M时，有 [*] 由洛必塔法则，知 [*] 故一切解｜y(x)｜在x∈[0，+∞)上皆有界．

解析因函数p(x)和f(x)均未具体给出，则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的，故应当用变上限的定积分来表示其通解，以便讨论其性质．

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考研数学一

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设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。

设f(x)=πx+x2，一π≤x≤π，且f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，bn=___________。

计算曲面积分I=，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。

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(Ⅰ)求微分方程＝0的通解及满足y(1)＝1的特解；(Ⅱ)求微分方程(yeχ＋2eχ＋y2)dχ＋(eχ＋2χy)dy＝0的通解．

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