设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa｜x一t｜(t)dt (I)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(A)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2020-01-12 37

问题设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫_-a^a｜x一t｜(t)dt
(I)证明：F’(x)单调增加．
(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(A)一a²一1时，求函数f(x)．

选项

答案[*] 因为F’’(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数．(Ⅱ)因为F’(0)=∫_-a⁰f(x)dx一∫₀^af(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0，又因为F’’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)=∫_-a^a｜t｜f(t)dt一2 ∫₀^atf(t)dt． [*]

解析

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考研数学三

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