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  3. 设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1。α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1＋α2)＝α2。 (1)证明α1Tα2＝0； (2)求方程组AX＝α2的通解。

设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1。α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1＋α2)＝α2。 (1)证明α1Tα2＝0； (2)求方程组AX＝α2的通解。

admin2020-12-06  21
问题 设三阶对称矩阵A的特征值为0，1，1。α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1＋α2)＝α2。
    (1)证明α1Tα2＝0；
    (2)求方程组AX＝α2的通解。
选项
答案解 先证明α1与α2是属于不同特征值的特征向量，且α1是属于特征值λ1＝0的特征向量，α2是属于特征值λ2＝1的特征向量，否则都与A(α1＋α2)＝α2矛盾。 例如：若Aα1＝α1，Aα2＝0·α2，则 A(α1＋α2)＝Aα1＝α1≠α2； 若Aα1＝α1，Aα2＝α2，则 A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝α1＋α2≠α2(因α1为特征向量，α1≠0)。 α1，α2既然属于不同特征值的特征向量，由A为实对称矩阵便有α1Tα2＝0。 因A为实对称矩阵，必与对角矩阵[*]相似，因而秩(A)＝2，则AX＝0的一个基础解系含3－2＝1个解向量，由Aα1＝0α1＝0知，α1为基础解系。 又由A(α1＋α2)＝α2及Aα2＝1·α2＝α2知，α2与α1＋α2都为AX＝α2的特解，故AX＝α2的通解为kα1＋α2或kα1＋(α1＋α2)。
解析
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考研数学一

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