设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。

admin2015-03-23 14

问题设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。

选项 A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解
B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解

答案D

解析由解的判定定理知，对Ax=b，若有r(A)=

=r，则Ax=b一定有解。进一步，若r=n，则Ax=b有惟一解；若r＜n，则Ax=b有无穷多解。而对Ax=0一定有解，且设r(A)=r，则若r=n，Ax=0仅有零解；若r＜n，Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有无穷多解，则必有r(A)=

=r＜n，Ax=0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r(A)=r=n(或＜n)，并不能推导出r(A)=

，所以Ax=b可能无解，更谈不上有惟一解或无穷多解。

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