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已知3阶矩阵A满足|A-E|=|A-2E|=|A+E|=a,其中E为3阶单位矩阵。 (1)当a=0时,求行列式|A+3E|的值; (2)当a=2时,求行列式|A+3E|的值。
已知3阶矩阵A满足|A-E|=|A-2E|=|A+E|=a,其中E为3阶单位矩阵。 (1)当a=0时,求行列式|A+3E|的值; (2)当a=2时,求行列式|A+3E|的值。
admin
2021-04-16
38
问题
已知3阶矩阵A满足|A-E|=|A-2E|=|A+E|=a,其中E为3阶单位矩阵。
(1)当a=0时,求行列式|A+3E|的值;
(2)当a=2时,求行列式|A+3E|的值。
选项
答案
(1)当a=0时,易知A有3个互异的特征值1,2,-1,所以存在可逆矩阵P使P
-1
AP=[*], 从而有P
-1
(A+3E)P=P
-1
AP+3E=[*], 表明A+3E的特征值为4,5,2,因此|A+3E|=4×5×2=40。 (2)当a=2时,设f(λ)=|λE-A|是A的特征多项式,g(λ)=f(λ)+2,则 g(1)=f(1)+2=|E-A|+2=0,g(2)=f(2)+2=|2E-A|+2=0,g(-1)=f(-1)+2=|-E-A|+2=0,所以g(λ)=(λ-1)(λ-2)(λ+1)=λ
3
-2λ
2
-λ+2,由此得 f(λ)=g(λ)-2=λ(λ
2
-2λ-1),令f(λ)=0,解得A的特征值为0,1+[*],1-[*],所以A+3E的特征值为3,4+[*],4-[*],故|A+3E|=3(4+[*])(4-[*])=42。
解析
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考研数学三
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